[2017년 백석고]

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[1학년 1학기 중간]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +ax +b = 0]의 한 근을 [eqn: 3 - root2 i]라고 할 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i = root-1]이다.)

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: 1 - 1 over i + 1 over i^2 - 1 over i^3 + cdots - 1 over i^99]의 값은? (단, [eqn: i= root-1])

③

① [eqn: - i]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: i]

두 수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y =5], [eqn: x^2 +y^2 =3]이 성립할 때,
[eqn: x^3 +y^3 +5xy]의 값은?

③

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

이차방정식 [eqn: x^2 -2x +2 =0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때,
[eqn: (alpha^2 - 3alpha +3 ) ( beta^2 -3 beta +3 )]의 값은?

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: 3a +b+3c]의 값은?

①

[eqn: x^2 +5x -2][eqn: = ax(x-1)+b(x-1)(x+2 )+cx(x+2)]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 연산 [eqn: <A,~B>]를
[eqn: <A,~B > = A^2 +AB +B^2]
으로 정의할 때, 다항식 [eqn: < x^2 +x+1 ,~x^2 +x >]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

직선 [eqn: y=x+2]는 이차함수 [eqn: y = 2x^2 +k]의 그래프와는 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y =x^2 -x +3k +11]의 그래프와는 만나지 않는다고 할 때, 정수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 합은?

②

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

이차함수 [eqn: y = x^2 -6x +12]의 그래프가 직선 [eqn: y =ax +8]과 서로 다른 두 점 [eqn: (x_1 ,~ y_1 )], [eqn: (x_2 ,~ y_2 )]에서 만난다. [eqn: x_1 +x_2 = 8]일 때, [eqn: y_1 +y_2]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수)

⑤

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

그림과 같이 점 [eqn: rm O]를 중심으로 하는 반원에 내접하는 직사각형 [eqn: rmABCD]가 다음 두 조건을 모두 만족시킨다.

위 직사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: x], [eqn: y]의 식으로 나타내면?

(가) [eqn: { rm bar OC +bar CD } = 2x +y +3]

(나) [eqn: { rm bar DA + bar AB +bar BO } = 6x +y +5]

⑤

① [eqn: (2x-1)(y+2)]	② [eqn: (2x+1)(y+2)]	③ [eqn: 2(x+1)(2y +1 )]

④ [eqn: 2(2x+1)(y-2)]	⑤ [eqn: 2(2x+1)(y+2)]

이차방정식 [eqn: x^2 -4x +k-1 =0]의 서로 다른 두 실근이 [eqn: -1]과 [eqn: 4]사이에 존재하도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x+y =5]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: 2x^2 +ay^2 +2bx +5c =0]이 항상 성립한다고 할 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a-b+c]의 값은?

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

이차함수 [eqn: f(x)= -2x^2 +ax +2b]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

④

ㄱ. [eqn: b>0]

ㄴ. [eqn: a+b <4]

ㄷ. [eqn: a^2 +16 b <0]

① ㄱ	② ㄷ	③ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^6]을 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라 할 때, 몫 [eqn: Q(x)]의 상수항을 포함한 모든 계수의 총합을 [eqn: S]라 하자. 이때, [eqn: S+R]의 값은?

⑤

① [eqn: 1081]	② [eqn: 1084]	③ [eqn: 1087]

④ [eqn: 1090]	⑤ [eqn: 1093]

다음은 최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 어떤 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 조립제법을 계속해 나가는 과정을 나타낸 것이다.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라 할 때, [eqn: Q(2)+R]의 값은?

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha +beta = alpha beta]가 성립한다. 이때, 이차방정식 [eqn: f(x-2)=0]의 두 근을 [eqn: gamma], [eqn: delta]라고 할 때, [eqn: gamma^2 + delta^2]의 최솟값은?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

서로 다른 세 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 다음 두 조건을 만족시킬 때,
[eqn: alpha+beta +gamma]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수)

②

(가) [eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 [eqn: x^2 +kx -2k=0]의 근이다.

(나) [eqn: beta], [eqn: gamma]는 이차방정식 [eqn: x^2 -4kx +3k =0]의 근이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^10 +x^5 -2]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(10)]의 값은?

①

① [eqn: 135]	② [eqn: 14 0]	③ [eqn: 145]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 155]

다음 그림은 양초 판매가격과 판매개수에 대한 관련도 조사 결과를 나타낸 것이다. 이 보고서를 토대로 양초 한 개의 가격을 [eqn: x%] 인상하여 하루 판매수입을 최대로 하려고 할 때, 이 회사의 기대되는 하루 양초 판매수입의 최댓값은? (단, [eqn: x>0]이고
[eqn: (판매수입) =(판매가격) times( 판매개수)]이다.)

④

① [eqn: 3,050,000]원	② [eqn: 3,075,000]원	③ [eqn: 3,100,000]원

④ [eqn: 3,125,000]원	⑤ [eqn: 3,150,000]원

복소수 [eqn: z]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i = root-1]이고 [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: z i = bar z]이면 [eqn: z^2]은 [eqn: 0] 또는 순허수이다.

ㄴ. [eqn: z - bar z = 2i], [eqn: z^2 + { bar z }^2 = 0]이면 [eqn: z bar z =2]이다.

ㄷ. [eqn: z^2 = - bar z]를 만족하는 복소수 [eqn: z]의 개수는 [eqn: 4]개다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

다음 다항식을 유리수의 범위에서 인수분해하고 그 과정을 상세하게 서술하시오.

(1) [eqn: (x ^{2} +x-3)(x ^{2} +x-5)]

(2) [eqn: (x-2y+3)(2x-y-2)]

(1) [eqn: (x-1)(x-2)(x+2)(x+3)+3]

(2) [eqn: 2x^2 -5xy +2y^2 +4x +y -6]

이차방정식 [eqn: x^2 -x +1 =0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: 1+ 1over omega + 1over omega^2 + 1over omega^3 + cdots + 1over omega^98]

[eqn: =16( 1+ 1overomega + 1over omega^2 -1 - 1overomega - 1over omega^ 2 ) + 1+ 1overomega + 1over omega^2]

[eqn: = 1+ 1over omega + 1over omega^2 = {omega^2 + omega +1} over omega^2 = 2omega over omega^2 = 2 over omega]

(2) [eqn: 34]개

(1) [eqn: 1 + 1 over omega + 1 over omega^2 + 1 over omega^3 + cdots + 1 over omega^98 = 2 over omega]가 성립함을 보이고,

그 과정을 상세하게 서술하시오.

(2) [eqn: 100] 이하인 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: omega^2n + omega^n +1 =0]을 만족하는

[eqn: n]의 개수를 구하고, 그 과정을 상세하게 서술하시오.

[2017년 백석고]

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